플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘

-모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용

-소스코드가 다익스트라에 비해 짧아서 구현이 쉽다.

-플로이드 워셜 알고리즘은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.

 

플로이드 워셜 알고리즘의 점화식

 

 

 

그림으로 설명

 

초기 그래프 상태

현재 상태에서 갈 수 있는 곳을 전부 표에 적고 갈 수 없는 곳은 무한으로 설정한다.

 

 

단계 1

 

1번 노드를 통해 가는 경우를 고려해 테이블을 갱신한다.

 

단계 2

 

2번 노드를 통해 가는 경우를 고려해 테이블을 갱신한다.

 

단계 3

 

3번 노드를 통해 가는 경우를 고려해 테이블을 갱신한다.

 

단계 4

 

4번 노드를 통해 가는 경우를 고려해 테이블을 갱신한다.

 

최종적으로 나온 결과는 이렇게 된다.

 

플로이드 워셜 알고리즘 소스 코드

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

 

플로이드 워셜 알고리즘 시간 복잡도

시간 복잡도는 O(N^3)이다.

노드의 개수가 N개 일 때, N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 

현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다. 따라서 O(N^3)이다.